O modelo Black e Scholes: O Modelo de Preços de Opções Black e Scholes não apareceu de um dia para o outro, de fato, o Fisher Black começou a trabalhar para criar um modelo de avaliação para warrants de ações. Este trabalho envolveu o cálculo de um derivado para medir como a taxa de desconto de um mandado varia com o tempo eo preço das ações. O resultado desse cálculo manteve uma semelhança impressionante com uma equação bem conhecida de transferência de calor. Logo após essa descoberta, Myron Scholes juntou-se ao Black e o resultado de seu trabalho é um modelo de preço de opções surpreendentemente preciso. Black e Scholes não podem aceitar todos os créditos pelo seu trabalho, de fato, seu modelo é realmente uma versão melhorada de um modelo anterior desenvolvido por A. James Boness em seu Ph. D. Dissertação na Universidade de Chicago. As melhorias de Black e Scholes no modelo Boness vêm na forma de uma prova de que a taxa de juros livre de risco é o fator de desconto correto e com a ausência de premissas quanto às preferências de risco dos investidores. Para entender o modelo em si, dividimos em duas partes. A primeira parte, SN (d1), deriva o benefício esperado de adquirir um estoque de forma definitiva. Isto é encontrado pela multiplicação do preço da ação S pela variação do prêmio da chamada em relação a uma alteração no preço subjacente N (d1). A segunda parte do modelo, Ke (-rt) N (d2), dá o valor presente de pagar o preço de exercício no dia do vencimento. O valor de mercado justo da opção de compra é então calculado tomando a diferença entre essas duas partes. Pressupostos do modelo Black e Scholes: 1) As ações não pagam dividendos durante a vida das opções. A maioria das empresas paga dividendos aos seus detentores de ações, pelo que esta pode parecer uma séria limitação ao modelo considerando a observação de que maiores rendimentos de dividendos provocam menores prêmios de chamadas. Uma maneira comum de ajustar o modelo para esta situação é subtrair o valor descontado de um futuro dividendo do preço das ações. 2) Os termos de exercício europeus são utilizados. Os termos de exercício europeus determinam que a opção só pode ser exercida no prazo de validade. O termo de exercício americano permite que a opção seja exercida a qualquer momento durante a vida útil da opção, tornando as opções americanas mais valiosas por sua maior flexibilidade. Esta limitação não é uma preocupação importante, porque poucas chamadas são exercidas antes dos últimos dias de sua vida. Isso é verdade porque, quando você faz uma chamada com antecedência, perde o valor do tempo restante na chamada e coleciona o valor intrínseco. No final da vida de uma chamada, o valor do tempo restante é muito pequeno, mas o valor intrínseco é o mesmo. 3) Os mercados são eficientes Esta suposição sugere que as pessoas não podem prever consistentemente a direção do mercado ou um estoque individual. O mercado opera continuamente com preços de ações seguindo um processo contínuo. Para entender o que é um processo contínuo, você deve primeiro saber que um processo de Markov é aquele em que a observação no período de tempo t depende apenas da observação anterior. Um processo é simplesmente um processo de Markov em tempo contínuo. Se você fosse desenhar um processo contínuo, faria isso sem tirar a caneta do pedaço de papel. 4) Nenhuma comissão é cobrada Normalmente, os participantes do mercado precisam pagar uma comissão para comprar ou vender opções. Mesmo os comerciantes do chão pagam algum tipo de taxa, mas geralmente é muito pequeno. As taxas que os investidores individuais pagam são mais substanciais e muitas vezes podem distorcer a produção do modelo. 5) As taxas de juros permanecem constantes e conhecidas. O modelo Black e Scholes usa a taxa livre de risco para representar essa taxa constante e conhecida. Na realidade, não existe uma taxa livre de risco, mas a taxa de desconto nas Letras do Tesouro do governo dos EUA com 30 dias até o vencimento é usualmente usada para representá-la. Durante períodos de taxas de juros que mudam rapidamente, essas taxas de 30 dias são freqüentemente sujeitas a alterações, violando assim uma das premissas do modelo. 6) Os retornos são distribuídos de forma inesperada. Esta suposição sugere que os retornos sobre o estoque subjacente são normalmente distribuídos, o que é razoável para a maioria dos ativos que oferecem opções. Então, o preço de uma opção de venda é: o modelo de Black-Scholes assume que a opção pode ser exercida Apenas no vencimento. Exige que tanto a taxa livre de risco como a volatilidade do preço das ações subjacentes permaneçam constantes ao longo do período de análise. O modelo também pressupõe que o estoque subjacente não paga ajustes de dividendos podem ser feitos para corrigir essas distribuições. Por exemplo, o valor presente dos dividendos estimados pode ser deduzido do preço das ações no modelo. Os warrants são opções de compra emitidas por uma empresa. Eles tendem a ter durações mais longas do que as opções de chamadas trocadas. Os warrants podem ser valorizados pelo modelo Black-Scholes, mas algumas modificações devem ser feitas nos parâmetros. Quando os warrants são exercidos, a empresa geralmente emite novas ações no preço de exercício para preencher o pedido. O aumento resultante das ações em circulação dilui o valor da ação. Se houvesse n ações em circulação, e m warrants são exercidos, alpha representa a porcentagem do valor da empresa que é representada pelos warrants, onde alpha m (mn) Ao usar o modelo de Black-Scholes para valorar os warrants, é Vale a pena usar valores totais em vez de valores por ação para melhor explicar a diluição. O preço atual da ação S torna-se o valor da empresa (menos dívida) a ser adquirido pelos titulares dos warrants. O preço de exercício é o valor total do exercício do warrant, ajustado pelo fato de que, ao pagar em dinheiro à empresa para exercer os warrants, os titulares dos warrants em vigor estão pagando uma parcela do caixa, alfa. para eles mesmos. As insumos para o modelo Black-Scholes, tanto para preço de opção quanto para preço de garantia, são delineadas na tabela a seguir. Parâmetros de Black-Scholes para opções de preço e garantias
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